高等数学：第六章 定积分的应用（2）平面图形的面积

§6.2  平面图形的面积

一、直角坐标的情形

由曲线 及直线 与  (  ) 与 轴所围成的曲边梯形面积。

  其中：为面积元素。

由曲线  与  及直线 ，(  )且所围成的图形面积。

其中： 为面积元素。

【例1】计算抛物线与直线所围成的图形面积。

解：1、先画所围的图形简图

解方程 , 得交点： 和 。

2、选择积分变量并定区间

选取为积分变量，则

3、给出面积元素

在上， 

在上， 

4、列定积分表达式

另解：若选取为积分变量，则

显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题。

【例2】求椭圆所围成的面积 。

解：据椭圆图形的对称性，整个椭圆面积应为位于第一象限内面积的4倍。

取为积分变量，则 ，

故                          ( * )

作变量替换    

则 ， 

                          ( * * )

于是，我们可给出曲边梯形的曲边由参数方程给出时，其面积计算公式

设曲边梯形的曲边由参数方程

给出，曲边梯形的面积计算公式为

其中：及分别曲线的起点与终点的所对应的参数值。

二 极坐标情形

设平面图形是由曲线 及射线，所围成的曲边扇形。

取极角为积分变量，则 ,在平面图形中任意截取一典型的面积元素，它是极角变化区间为的窄曲边扇形。

的面积可近似地用半径为， 中心角为的窄圆边扇形的面积来代替，即

从而得到了曲边梯形的面积元素

从而 

【例3】计算心脏线所围成的图形面积。

解： 由于心脏线关于极轴对称，